Question

【题目】已知抛物线x2=4y焦点为F，点A，B，C为该抛物线上不同的三点，且满足 + + = ．
（1）求|FA|+|FB|+|FC|；
（2）若直线AB交y轴于点D（0，b），求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），

由抛物线x2=4y得焦点F坐标为（0，1），

所以 =（x1，y1﹣1）， =（x2，y2﹣1）， =（x3，y3﹣1），

所以由 + + = ，得 ，（*）

易得抛物线准线为y=﹣1，

由抛物线定义可知|FA|=y1+1，|FB|=y2+1，|FC|=y3+1，

所以|FA|+|FB|+|FC|=y1+y2+y3+3=6

（2）解：显然直线AB斜率存在，设为k，则直线AB方程为y=kx+b，

联立 消去y得：x2﹣4kx﹣4b=0，

所以△=16k2+16b＞0即k2+b＞0…①

且x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，所以y1+y2=k（x1+x2）+2b=4k2+2b，

代入式子（*）得 又点C也在抛物线上，

所以16k2=12﹣16k2﹣8b，即k2= …②，

由①，②及k2≥0可解得 即﹣ ＜b≤ ，

又当b=1时，直线AB过点F，此时A，B，F三点共线，由 + + = ，

得 与 共线，即点C也在直线AB上，此时点C必与A，B之一重合，

不满足点A，B，C为该抛物线上不同的三点，所以b≠1，

所以实数b的取值范围为（﹣ ，1）∪（1， ]

【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），求得抛物线的焦点坐标，准线方程，运用抛物线的定义和向量的坐标表示，可得所求和；（2）显然直线AB斜率存在，设为k，则直线AB方程为y=kx+b，代入抛物线的方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合向量的坐标表示，求出C的坐标，代入抛物线的方程，可得b的范围，讨论b=1不成立，即可得到所求范围．