【题目】在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与
圆O:x2+y2=4交于点A,B,与圆M:(x﹣2)2+(y﹣1)2=1交于点C,D.
(1)若 ,求CD的长;
(2)若CD中点为E,求△ABE面积的取值范围.
【答案】
(1)解:设直线AB的方程为:y=kx+1(k≠0),
∵ ,∴ + =22,
化为:k2=15,
解得k= .
∴直线CD的方程为:y= x+1.
∴|CD|=2 = .
(2)①直线AB为y轴时,直线AB的方程为:x=0,直线CD的方程为:y=1.
S△ABE= = =4.
②直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为:y=kx+1,
若k=0,则方程为y=1,经过圆心(2,1),此时△ABE不存在,舍去.
k≠0时,可得直线CD的方程为:y=﹣ x+1.
|AB|=2 =2 .
联立 ,化为:(k2+1)x2﹣4k2x+3k2=0,
△=16k4﹣12(k2+1)k2>0,化为:k2>3.
∴x1+x2= ,可得E .
∴点E到直线AB的距离d= = .
∴S△ABE= |AB|d= ×2 × =2 =2 ,
令k2+1=t>1,可得f(t)= = ∈(0,2).
∴S△ABE∈(0,4).
综上可得:S△ABE∈(0,4].
【解析】(1)本小题主要利用圆中弦长的一半、圆心到弦的距离及圆的半径组成的直角三角形并利用勾股定理来解题;(2)本题的难点在于针对直线AB斜率的进行分类,对于直线的斜率可以分为不存在、存在时为0及存在时不为0.
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【题目】在直角坐标系中,椭圆C1: 的左、右焦点分别为F1 , F2 , 其中F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,点P为C1与C2在第一象限的交点,且 .
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M、N两点,若线段OF2上存在定点T(t,0)使得以TM、TN为邻边的四边形是菱形,求t的取值范围.
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【题目】已知曲线C1的参数方程是 (φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的坐标系方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2, ).
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
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【题目】有一块以点O为圆心,半径为2百米的圆形草坪,草坪内距离O点 百米的D点有一用于灌溉的水笼头,现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A,B两点,为了方便居民散步,同时修建小路OA,OB,其中小路的宽度忽略不计.
(1)若要使修建的小路的费用最省,试求小路的最短长度;
(2)若要在△ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞,试求这块圆形广场的最大面积.(结果保留根号和π)
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【题目】公比为q(q≠1)的等比数列a1 , a2 , a3 , a4 , 若删去其中的某一项后,剩余的三项(不改变原有顺序)成等差数列,则所有满足条件的q的取值的代数和为 .
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【题目】平面上,点A、C为射线PM上的两点,点B、D为射线PN上的两点,则有 (其中S△PAB、S△PCD分别为△PAB、△PCD的面积);空间中,点A、C为射线PM上的两点,点B、D为射线PN上的两点,点E、F为射线PL上的两点,则有 =(其中VP﹣ABE、VP﹣CDF分别为四面体P﹣ABE、P﹣CDF的体积).
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