Question

【题目】已知椭园C： +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.且椭圆C过点(，-)，离心率e=;点P在椭圆C 上，延长PF1与椭圆C交于点Q,点R是PF2中点.

(I )求椭圆C的方程;

(II )若O是坐标原点，记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）将点坐标代人椭圆方程，结合离心率解方程组可得a=2,b=,c=1.（2）先根据三角形中位线性质得OR∥PF1.转化S为S△PQO.设直线PQ方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理解得|y1-y2|,根据二次函数求最值，即得S的最大值.

试题解析：解:(I)依题意, =1,则,解得a =2,b=,c=1.

故椭圆C的方程为；.

(Ⅱ)由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故OR∥PF1.

故△PF1R与△PF1O同底等高,故S△PF1R=S△PF10,S=S△QF1O+S△PF1E=S△PQO.

当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=×1×[-(-)]=

当直线PQ的斜率存在时,设其方程为:y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),

显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0;

联立解得(3+4k)x+8kx+4k-12=0,.

A=144(k2+1)>0,故.

故|PQ|=|x1-x2|= =，

点O到直线PQ的距离d=，.

S=|PQ|d=6,令a=3+4k∈(3,+∞),

故，.

故S的最大值为.