Question

【题目】已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N*），且{an}的前n项和为Sn ， 则Sn=（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2）， ∴f（x+2）= f（x），
∴f（x+4）= f（x+2）= f（x），f（x+6）= f（x+4）= f（x），…f（x+2n）= f（x）
设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）
∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．
∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．
∴ =﹣2（x﹣2n+1）2+2
∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），
∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n
∴an=22﹣n
∴{an}表示以2为首项， 为公比的等比数列
∴{an}的前n项和为Sn= =
故选B．
根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）= f（x），从而f（x+2n）= f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an ， 进而利用等比数列的求和公式，即可求得{an}的前n项和为Sn ．