Question

6．已知底面边长为a，高为h，求正棱锥的侧棱棱长和斜高．

Answer 1

分析 由已知条件求出底面外接圆半径r，利用勾股定理，即可求解侧棱，再由斜高，侧棱，底边一半构成直角三角形，能求出斜高．

解答 解：∵正三棱锥底面边长为a，∴底面外接圆半径r=$\frac{a}{2sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，
侧棱，高，底面外接圆半径构成直角三角形，
∴侧棱l=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{3}a}{3}）}^{2}+{h}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3{a}^{2}+9{h}^{2}}}{3}$，
斜高，侧棱，底边一半构成直角三角形，
则斜高为：$\sqrt{{（\frac{\sqrt{3{a}^{2}+9{h}^{2}}}{3}）}^{2}-{（\frac{1}{2}a）}^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{1}{12}{a}^{2}}$，
故答案为：正棱锥的侧棱棱长：$\frac{\sqrt{3{a}^{2}+9{h}^{2}}}{3}$，斜高为：$\sqrt{{h}^{2}+\frac{1}{12}{a}^{2}}$．

点评 本题考查正三棱锥的斜高的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意勾股定理的合理运用．