Question

设f（x）=x3-

x2

2

-2x，
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，取得函数的单调性，即可得到函数的极值；
（2）当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，等价于当x∈[-1，2]时，f（x）_max＜m恒成立，确定函数的最值，即可得到结论．

解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
由f′（x）＞0可得x＜-

2

3

或x＞1；由f′（x）＜0可得-

2

3

＜x＜1
∴函数在（-∞，-

2

3

），（1，+∞）上单调递增，在（

2

3

，1）上单调递减
∴x=-

2

3

时，函数取得极大值

157

27

；x=1时，函数取得极小值

7

2

；
（2）当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，等价于当x∈[-1，2]时，f（x）_max＜m恒成立，
∴函数在[-1，2]上单调递增，∴函数在[-1，2]上的最大值为f（2）=7
∴m＞7．

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，确定函数的单调性，求出函数的最值是关键．