Question

【题目】已知函数的定义域是,对任意,当时,．关于函数给出下列四个命题：①函数是周期函数；②函数是奇函数；③函数的全部零点为；④当时,函数的图象与函数的图象有且只有三个公共点．其中真命题的序号为__________.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①：利用,根据函数周期的定义可以判断出本命题的真假；

②：利用奇函数的定义可以判断出本命题的真假；

③：结合函数的周期性和当时,,可以判断出本命题的真假；

④：根据周期性画出当时,函数的图象,在同一直角坐标系内画出函数的图象,利用数形结合思想, 可以判断出本命题的真假；

①：因为,所以,所以函数的周期是2,故本命题是真命题；

②：因为,所以不符合奇函数的定义, 故本命题是假命题；

③：当时,,因此当时,只有,由①可知函数的周期是2,因此函数的全部零点为,故本命题是真命题；

④：当时,,通过周期得到当时,函数的图象,再画出函数的图象,如下图所示：

通过图象可知有三个不同的交点.故本命题是真命题.

故答案为：①③④