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在“猜数字”的游戏中,主持人在1~127中确定一个数字作为目标数字,记在心里,让小光来猜,如果没有猜对,主持人会告诉小光,他猜的数字比目标数字大还是小,再让他猜,直到猜出目标数字为止.小光决定每次选择数字范围中最中间的数来猜目标数字,因为这样能最有效地缩小范围.
(1)如果主持人确定的目标数字是48,小光需要经过几次猜测,才能正确猜出目标数字?
(2)如果主持人等可能地在1~127中随机确定一个数字作为目标数字,小光平均要经过几次猜测才能正确猜出目标数字?

解:可把1,2,3,,127这127个自然数看成是开区间(0,128)中的自然数
(1)当目标数字是48时,每次选择数字范围中最中间的数来猜目标数字
可猜64,32,48共3次可猜出目标;
(2)选择数字范围中最中间的数来猜目标,相当于要研究目标数字中含因数2的情况,故可如下分类:
1×2°,3×2°,5×2°,…,127×2°这64个数均猜7次
1×21,3×21,5×21,…,63×21这32个数均猜6次
1×22,3×22,5×22,…,31×22这16个数均猜5次
1×23,3×23,5×23,••,15×23这8个数均猜4次
1×24,3×24,5×24,7×24这4个数均猜3次
1×25,3×25这2个数均猜2次
1×26这1个数只猜1次
平均期望次数为+2×2+1×1)=6.055
分析:(1)由题意知当目标数字是48时,每次选择数字范围中最中间的数来猜目标数字可猜64,32,48共3次可猜出目标;
(2)选择数字范围中最中间的数来猜目标,相当于要研究目标数字中含因数2的情况,列举出可以猜出数字的所有情况,做出期望值.
点评:本题考查平均数,考查利用数学知识解决实际问题,这种题目题意比较难理解,是一个中档题目,解题的关键是看清题目的本质.
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(1)如果主持人确定的目标数字是48,小光需要经过几次猜测,才能正确猜出目标数字?
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(11,15)
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