Question

在“猜数字”的游戏中，主持人在1～127中确定一个数字作为目标数字，记在心里，让小光来猜，如果没有猜对，主持人会告诉小光，他猜的数字比目标数字大还是小，再让他猜，直到猜出目标数字为止．小光决定每次选择数字范围中最中间的数来猜目标数字，因为这样能最有效地缩小范围．
（1）如果主持人确定的目标数字是48，小光需要经过几次猜测，才能正确猜出目标数字？
（2）如果主持人等可能地在1～127中随机确定一个数字作为目标数字，小光平均要经过几次猜测才能正确猜出目标数字？

Answer 1

解：可把1，2，3，，127这127个自然数看成是开区间（0，128）中的自然数
（1）当目标数字是48时，每次选择数字范围中最中间的数来猜目标数字
可猜64，32，48共3次可猜出目标；
（2）选择数字范围中最中间的数来猜目标，相当于要研究目标数字中含因数2的情况，故可如下分类：
1×2°，3×2°，5×2°，…，127×2°这64个数均猜7次
1×2¹，3×2¹，5×2¹，…，63×2¹这32个数均猜6次
1×2²，3×2²，5×2²，…，31×2²这16个数均猜5次
1×2³，3×2³，5×2³，••，15×2³这8个数均猜4次
1×2⁴，3×2⁴，5×2⁴，7×2⁴这4个数均猜3次
1×2⁵，3×2⁵这2个数均猜2次
1×2⁶这1个数只猜1次
平均期望次数为+2×2+1×1）=6.055
分析：（1）由题意知当目标数字是48时，每次选择数字范围中最中间的数来猜目标数字可猜64，32，48共3次可猜出目标；
（2）选择数字范围中最中间的数来猜目标，相当于要研究目标数字中含因数2的情况，列举出可以猜出数字的所有情况，做出期望值．
点评：本题考查平均数，考查利用数学知识解决实际问题，这种题目题意比较难理解，是一个中档题目，解题的关键是看清题目的本质．