Question

用平行于四面体ABCD的一组对棱AC和BD的平面截此四面体,得一四边形MNPQ,如图2-2-19所示.

图2-2-19

(1)求证:MNPQ是平行四边形.

(2)若AC=BD,能截得菱形吗,如何截？

(3)在什么情况下,可以截得一个矩形？

(4)在什么情况下,能截得一个正方形呢,如何截？

(5)若AC=BD=a,求证:平行四边形MNPQ的周长一定.

Answer 1

思路分析:本题以线面、面面的平行为载体,来解决相关的问题.对于(1)可用两组对边分别平行来证明MNPQ是平行四边形;再由比例的性质证得结论(2);当对棱垂直时,由空间等角的关系,可见四边形MNPQ的一个角是直角,从而得到结(3);对于结论(4),只要满足既是菱形又是矩形的要求即可;对于第(5)问,只要注意△AMQ∽△ABD,就可把平行四边形MNPQ的周长表示出来,从而确定它是否是与a有关的定值.

(1)证明:∵AC∥平面MNPQ,且平面ADC∩平面MNPQ=PQ,且AC平面ADC,

∴AC∥PQ.

同理可证AC∥MN,BD∥MQ,BD∥NP.

∴PQ∥MN,MQ∥NP.

∴四边形MNPQ为一平行四边形.

(2)解:由(1)得①

由MQ∥BD,得.②

又AC=BD,

①÷②得,当DQ=AQ时,

PQ=MQ.又四边形MNPQ为平行四边形,

∴MNPQ为菱形,即当Q取AD中点时可截得菱形.

(3)解:显然,当AC⊥BD时,MN⊥NP,即四边形MNPQ为矩形.

(4)解:由(2)和(3)可知,当AC=BD,且AC⊥BD,且Q为AD的中点时,四边形MNPQ为一正方形.

(5)证明:设MQ=x,PQ=y,Q为AD上一点,且AQ∶QD=m∶n,

∵△AMQ∽△ABD,

∴,且BD=a.

∴x=MQ=a.

同理可得y=PQ=a.

∴x+y=a+a=a.

∴周长为2(x+y)=2a,

即当AC=BD=a时,平行四边形MNPQ的周长为定值2a.

  绿色通道:本小题是一道典型的发散性思维题,其中综合了几何中的多个知识点,特别是线面平行和线线平行.正确理解相关平面图形的定义是解答本题的关键.通过引入了参数m、n、x、y,可建立相关量间的关系式,消去参数后即得所求结果.