Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，
PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．

（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 ，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC．

∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2 ．

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．

∵AC平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC．

（Ⅱ）如图，以点C为原点， ， ， 分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．

设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，﹣1，a）， =（2，2，0）， =（0，0，2a）， =（1，﹣1，a）．

取 =（1，﹣1，0），则 = =0， 为面PAC的法向量．

设 =（x，y，z）为面EAC的法向量，则 = =0，

即 ，取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则 =（a，﹣a，﹣2），

依题意，|cos＜ ， ＞|= = = ，则a=2．

于是n=（2，﹣2，﹣2）， =（2，2，﹣4）．

设直线PA与平面EAC所成角为θ，

则sinθ=|cos＜ ， ＞|= = ，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为

【解析】（Ⅰ）证明AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，以点C为原点， ， ， 分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通过二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 ，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)，还要掌握空间角的异面直线所成的角(已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则)的相关知识才是答题的关键．