精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

【题目】已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且

(1)求抛物线的方程;
(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y﹣1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作我校的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.

【答案】
(1)

解:由题意可知P(4,0),Q(4, ),丨QF丨= +

,则 + = × ,解得:p=2,

∴抛物线x2=4y


(2)

解:设l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立 ,整理得:x2﹣4kx﹣4=0,

则x1x2=﹣4,

由y= x2,求导y′=

直线MA:y﹣ = (x﹣x1),即y= x﹣

同理求得MD:y= x﹣

,解得: ,则M(2k,﹣1),

∴M到l的距离d= =2

∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABMS△CDM= 丨AB丨丨CD丨d2

= (丨AF丨﹣1)(丨DF丨﹣1)d2

= y1y2d2= ×d2

=1+k2≥1,

当且仅当k=0时取等号,

当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积的最小值1


【解析】(1)求得P和Q点坐标,求得丨QF丨,由题意可知, + = × 即可求得p的值,求得椭圆方程;(2)设直线方程,代入抛物线方程,由韦达定理x1x2=﹣4,求导,根据导数的几何意义,求得切线方程,联立求得M点坐标,根据点到直线距离公式,求得M到l的距离,利用三角形的面积公式,即可求得△ABM与△CDM的面积之积的最小值.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】设f(x)=|3x﹣2|+|x﹣2|.
(Ⅰ)解不等式f(x)≤8;
(Ⅱ)对任意的非零实数x,有f(x)≥(m2﹣m+2)|x|恒成立,求实数m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】为了打好脱贫攻坚战,某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研,力争有效地改良玉米品种,为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图如图(单位:厘米),设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米.
(1)完成2×2列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关?

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(K2= ,其中n=a+b+c+d)
(2)为了改良玉米品种,现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株,再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验,选取的植株均为矮茎的概率是多少?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】我们国家正处于老龄化社会中,老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万,其中老人(年龄60岁及以上)人数约有66万,为了解老人们的健康状况,政府从 老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估,健康状况共分为不能 自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以80岁为界限分成两个群体进行 统计,样本分布被制作成如图表:

(1)若采取分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况,则两个群体中各应抽取多少人?
(2)估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比;
(3)据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入,政府计划为这部分老人每月发 放生活补贴,标准如下:①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元;②80岁以下 老人每人每月发放生活补贴120元;③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100 元.试估计政府执行此计划的年度预算.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知椭圆 内有一点M(2,1),过M的两条直线l1 , l2分别与椭圆E交于A,C和B,D两点,且满足 (其中λ>0,且λ≠1),若λ变化时,AB的斜率总为 ,则椭圆E的离心率为(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点,F1(﹣c,0),F2(c,0),P为C1与C2在第一象限的交点,|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5,若椭圆C1的离心率 ,则双曲线的离心率e2的范围是(
A.
B.
C.(2,3)
D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知椭圆 的右焦点为F,过椭圆C中心的弦PQ长为2,且∠PFQ=90°,△PQF的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点,S为直线 上一动点,直线A1S交椭圆C于点M,直线A2S交椭圆于点N,设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积,
的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x﹣my=0相交于A,B两点,若点A,B关于直线l:x+y=0对称,则|AB|=

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驾马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马.何日相逢,”其大意为:“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是3000里,良马第一天行193里,之后每天比前一天多行13里,驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇.”现有三种说法:①驽马第九日走了93里路;②良马四日共走了930里路;③行驶5天后,良马和驽马相距615里. 那么,这3个说法里正确的个数为(
A.0
B.1
C.2
D.3

查看答案和解析>>

同步练习册答案