Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f(x+

π

2

)是偶函数，给出下列四个结论：
①f（x）是周期函数；
②x=π是f（x）图象的一条对称轴；
③（-π，0）是f（x）图象的一个对称中心；
④当x=

π

2

时，f（x）一定取最大值．
其中正确的结论的代号是（　　）

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

分析：依据f(x+

π

2

)是偶函数，可知f（x+

π

2

）=f（-x+

π

2

）进而推断函数f（x）是以π为周期的函数．依据f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（x）关于原点对称．依题意不能断定函数一定有最值．最后断定①③正确．

解答：解：∵f(x+

π

2

)是偶函数
∴f（x+

π

2

）=f（-x+

π

2

）=f（x-

π

2

）=f（x+

π

2

-π）
∴f（x）=f（x-π），即函数f（x）是以π为周期的函数．
∴①是正确的．
∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（x）关于原点对称，
∵π为函数的周期，
∴f（x）亦关于（π，0），（-π，0）对称，
故②不正确，③正确．
∵函数f（x）不一定有最大值，故④不正确．
故选A

点评：本题主要考查函数的周期性．要利用好周期函数的奇偶性来判断函数的对称性．