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某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16m.如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式,并指出其定义域;
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.
(1)因污水处理水池的长为xm,则宽为
200
x
m,总造价
y=400(2x+2×
200
x
)+248×
200
x
×2+80×200=800(x+
324
x
)+16000
.(5分)
由题设条件
0<x≤16
0<
200
x
≤16,解得12.5≤x≤16
即函数定义域为[12.5,16](7分)
(2)由(1)得y′=800(1-
324
x2
)
(8分)
当x∈[12.5,16]时,y'<0;
故函数y=f(x)在[12.5,16]上是减函数.(10分)
∴当x=16时,y取得最小值,
此时ymin=800(16+
324
16
)+16000=45000
(元)此时
200
x
=
200
16
=12.5
(13分)
综上,当污水处理池的长为16m,宽为12.5m时,总造价最低,最低为45000元.(14分)
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