Question

在棱长为2 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E 、F 分别为A₁D₁和CC₁的中点．    

(1) 求证：EF∥平面ACD₁ ；    
(2) 求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；    
(3) 在棱BB₁上是否存在一点P ，使得二面角P-AC-B 的大小为30°。

Answer 1

解：如图，分别以DA、DC、DD1所在的直线为z轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
由已知得D(O，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B，(2，2，2)、E(1，0，2)、F(0，2，1)．
(1)证明：易知平面ACD₁的一个法向量=(2，2，2)．
=（-1，2，-1），
= -2+4-2=0．
，
而EF平面ACD₁，
∴EF∥平面ACD₁．
(2)∵=(0，2，0)，

∴异面直线EF与AB所成的角的余弦值为
(3)设点P(2，2，f)(0<t≤2)，平面ACP的一个法向量为n=（x，y，z），
则=（-2，2，0），=(0，2，t)，

取易知平面ABC的一个法向量=(0，0，2)，  
依题意知=30°或=150°．
即，
解得，
∴在棱B，上存在一点P，当BP的长为时，二面角P-AC-B的大小为30°．