Question

设

a

，

b

是不共线的两个非零向量，记

OM

=ma，

ON

=nb，

OP

=αa+βb，其中m，n，α，β均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，则

α

m

+

β

n

=

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：平面向量及应用

分析：M、N、P三点共线，则存在实数λ，使得

MP

=λ

PN

，利用向量的运算可得

OP

=

m

1+λ

a

+

λn

1+λ

b

，由于

a

，

b

不共线，可得

α= m 1+λ β= λn 1+λ

，即可得出．

解答： 解：若M、N、P三点共线，则存在实数λ，使得

MP

=λ

PN

，
∴

OP

-

OM

=λ(

ON

-

OP

)，
化为(1+λ)

OP

=

OM

+λ

ON

，
∴

OP

=

OM +λ ON

1+λ

=

m

1+λ

a

+

λn

1+λ

b

，
∵

a

，

b

不共线，
∴

α= m 1+λ β= λn 1+λ

，
∴

α

m

+

β

n

=

1

1+λ

+

λ

1+λ

=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．