Question

已知离心率为

2

2

的椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若某圆的圆心为坐标原点O，该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

，求该圆的方程，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用离心率为

2

2

的椭圆的焦距为4，求出几何量，即可得到椭圆E的方程；
（2）分类讨论，设出方程与椭圆方程联立，利用该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

，即可求出圆的方程，表示出|AB|，即可求|AB|的最大值．

解答：解：（1）由题意，2c=4，

c

a

=

2

2

，∴c=2，a=2

2

∴b²=a²-c²=4，∴椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

，
设该圆的切线方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，则△=8（8k²-m²+4）＞0，∴8k²-m²+4＞0
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-8k2

1+2k2

要使

OA

⊥

OB

，只需x₁x₂+y₁y₂=0，即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，所以3m²-8k²-8=0，
所以k²=

3m2-8

8

≥0
又8k²-m²+4＞0，所以

m2＞2 3m2≥8

，所以m2≥

8

3

，即m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r2=

m2

1+k2

=

8

3

，
所以所求的圆为x2+y2=

8

3

，此时圆的切线y=kx+m都满足m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

；
当切线的斜率不存在时切线为x=±

2 6

3

与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1的两个交点为（

2 6

3

，±

2 6

3

）或（-

2 6

3

，±

2 6

3

）满足

OA

⊥

OB

，
综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=

8

3

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

．
因为x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，
所以|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

32 3 (1+ k2 4k4+4k2+1 )

，
当k≠0时，|AB|=

32 3 (1+ 1 4k2+ 1 k2 +4

因为4k2+

1

k2

+4≥8，所以0＜

1

4k2+ 1 k2 +4

≤

1

8

，所以|AB|≤2

3

当k=0时，或斜率不存在时，计算得|AB|=

4 6

3

．
综上可得|AB|max=2

3

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，考查轨迹方程的求法，考查向量知识的运用，综合性强．