Question

已知z是复数，z+2i，

z

2-i

均为实数（i为虚数单位）．
（1）求z；
（2）如果复数（z-ai）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设z=x+yi（x、y∈R），根据z+2i=x+（y+2）i为实数可得y的值．再由

z

2-i

=

x-2i

2-i

=

1

5

(x-2i)(2+i)=

1

5

(2x+2)+

1

5

(x-4)i 为实数，可得x的值，从而求得z．
（2）由题意可知

-a2-4a+12＞0 -8(a+2)＞0

，由此求得a的范围．

解答：解：（1）设z=x+yi（x、y∈R），…（1分）∵z+2i=x+（y+2）i，由题意得y=-2．…（3分）
∵

z

2-i

=

x-2i

2-i

=

1

5

(x-2i)(2+i)=

1

5

(2x+2)+

1

5

(x-4)i 为实数，可得x=4，∴z=4-2i．…（6分）
（2）∵（z-ai）²=（-a²-4a+12）-8（a+2）i，对应点在第一象限，…′（8分）
可知

-a2-4a+12＞0 -8(a+2)＞0

，即：

a2+4a-12＞0 a+2＜0

，…（10分）
解得

-6＜a＜2 a＜-2

，∴-6＜a＜-2，
即实数a的取值范围是（-6，-2）．…（12分）

点评：本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．