Question

（普通班）如图所示，从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭
圆的左焦点F₁，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB∥OM．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，F₁是左焦点，求∠F₁QF₂的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵MF₁⊥x轴，AB∥OM，
∴Rt△OMF₁∽Rt△ABO?…（*）
设点M（-c，y₁），代入椭圆方程，
得，解之得y₁=（舍负），所以MF₁=，
又∵AO=a，BO=b，OF₁=c，
∴将AO、BO、MF₁、OF₁的长代入（*）式，得，
∴b=c，得到b²=c²，即a²-c²=c²，所以a²=2c²，
∴离心率e满足e²=，可得（舍负）（8分）
（2）分两种情况加以讨论
①当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F₁QF₂的大小为零；
②当点Q不与椭圆长轴的端点重合时，设∠F₁QF₂的大小为θ，则
在△F₁QF₂中，
即，
将F₁F₂=2c，QF₁+QF₂=2a代入，得4c²=4a²-2QF₁•QF₂（1+cosθ），
∴4a²-4c²=2QF₁•QF₂（1+cosθ），
∵QF₁•QF₂≤=a²，即得2QF₁•QF₂（1+cosθ）≤2a²（1+cosθ），
∴4a²-4c²≤2a²（1+cosθ），结合（1）的结论a²=2c²，
∴2a²≤2a²（1+cosθ）?cosθ≥0，
∵θ∈（0，π）
∴0＜θ≤，
综上所述，，即∠F₁QF₂的取值范围是（14分）
分析：（1）首先根据MF₁⊥x轴，AB∥OM，得到Rt△OMF₁∽Rt△ABO，从而得到比例线段：．再根据点M在椭圆上，
求出M的纵坐标，得出MF₁=，再结合AO=a，BO=b，OF₁=c，代入所得比例式，化简可得b=c，从而求出椭圆的离心率e；
（2）当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F₁QF₂的大小为零；当点Q不与椭圆长轴的端点重合时，设∠F₁QF₂的大小为θ，
在△F₁QF₂中，利用余弦定理，结合基本不等式和椭圆的定义，可以证出4a²-4c²≤2a²（1+cosθ），结合（1）的结论
a²=2c²，可以证出cosθ≥0，从而得到0＜θ≤．最后综合，得到，即为∠F₁QF₂的取值范围．
点评：本题结合一个特殊的椭圆，以求椭圆的离心率和焦点三角形中角的取值范围为载体，着重考查了椭圆的基本概念、余弦定理和基本不等式等知识点，属于中档题．