Question

已知函数f（x）=ax+

b

x

（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），（2，

5

2

）两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义法证明函数在[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）f（x）的图象经过两点，把这两点的坐标代入解析式，可求得a、b的值；
（2）用定义法证明函数的增减性时，基本步骤是：一取值，二作差，三判正负．四下结论．

解答：解：（1）∵f（x）=ax+

b

x

的图象经过（1，2），（2，

5

2

）两点；
∴有

a+b=2 2a+ b 2 = 5 2

，解得

a=1 b=1

；
∴f（x）的解析式为f（x）=x+

1

x

，（其中x≠0）；
（2）任取x₁，x₂，且1≤x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

；
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁x₂＞1，x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了用待定系数法求函数的解析式以及用定义法证明函数的单调性问题，是基础题．