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13.在△ABC中,已知A(cosx,sinx),(0≤x≤2π),B(1,1),顶点C满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$,设f(x)=|$\overrightarrow{OC}$|2
(1)求f(x)的对称轴,对称中心;
(2)若f(C)=3+$\sqrt{6}$,求cosC.

分析 (1)利用数量积运算、两角和的正弦公式、三角函数的图象与性质即可得出;
(2)把f(C)=3+$\sqrt{6}$代入(1)中求出的函数解析式,进一步求得sin(C+$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,进一步求得得cos(C+$\frac{π}{4}$),再由cosC=cos[($C+\frac{π}{4}$)-$\frac{π}{4}$]求得答案.

解答 解:(1)由题设知,$\overrightarrow{OA}$=(cosx,sinx),$\overrightarrow{OB}$=(1,1),
∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=(1+cosx,1+sinx).
∴f(x)=|$\overrightarrow{OC}$|2=(1+cosx)2+(1+sinx)2
=2sinx+2cosx+3=2$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)+3.
由x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+kπ,k∈Z$,得$x=\frac{π}{4}+kπ,k∈Z$.
∵0≤x≤2π,
∴对称轴方程为$x=\frac{π}{4}$,x=$\frac{5π}{4}$.
对称中心横坐标满足x+$\frac{π}{4}$=kπ(k∈Z),即x=kπ-$\frac{π}{4}$(k∈Z).
∴对称中心是($\frac{3π}{4}$,3),($\frac{7π}{4},3$);
(2)f(x)=2$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)+3.
由f(C)=3+$\sqrt{6}$,得2$\sqrt{2}$sin(C+$\frac{π}{4}$)+3=3+$\sqrt{6}$.
∴sin(C+$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵0<C<π,∴$\frac{π}{4}<C+\frac{π}{4}<\frac{5π}{4}$,
cos(C+$\frac{π}{4}$)=$±\frac{1}{2}$.
当cos(C+$\frac{π}{4}$)=$\frac{1}{2}$时,
cosC=cos[($C+\frac{π}{4}$)-$\frac{π}{4}$]=cos(C$+\frac{π}{4}$)cos$\frac{π}{4}$+sin(C$+\frac{π}{4}$)sin$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$;
当cos(C+$\frac{π}{4}$)=-$\frac{1}{2}$时,
cosC=cos[($C+\frac{π}{4}$)-$\frac{π}{4}$]=cos(C$+\frac{π}{4}$)cos$\frac{π}{4}$+sin(C$+\frac{π}{4}$)sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

点评 本题考查平面向量数量积运算、两角和的正弦公式、三角函数的图象与性质是解题的关键,是中档题.

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