Question

3．已知抛物线C：y²=2x，过抛物线C上一点P（1，$\sqrt{2}$）作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交抛物线C于A、B两点，则直线AB的斜率为$-2-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设出直线pA、pB的方程，与抛物线方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线AB的斜率为定值；

解答 解：∵点P坐标为（1，$\sqrt{2}$），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意可知MA的斜率存在且不为0，设PA：y-$\sqrt{2}$=k（x-1），即y=kx-k+$\sqrt{2}$，
代入抛物线的方程得：$\frac{k}{2}$y²-y-k+2=0，
则：y₁+$\sqrt{2}$=$\frac{4-2k}{k}$，故：y₁=$\frac{4-2k}{k}-\sqrt{2}$，
设PB：y-$\sqrt{2}$=-k（x-1），即y=-kx+k+$\sqrt{2}$，
代入抛物线的方程得：$\frac{k}{2}$y²+y-k-2=0，
则：y₂+$\sqrt{2}$=-$\frac{4+2k}{k}$，故y₂=-$\frac{4+2k}{k}-\sqrt{2}$，
∴y₂-y₁=-$\frac{4+2k}{k}-\sqrt{2}-\frac{4-2k}{k}+\sqrt{2}$=$-\frac{8}{k}$．y₂+y₁=4-2$\sqrt{2}$．
y₁=kx₁-k+$\sqrt{2}$，y₂=-kx₂+k+$\sqrt{2}$，
y₂+y₁=-kx₂+kx₁+2$\sqrt{2}$=4-2$\sqrt{2}$，
x₂-x₁=$\frac{4\sqrt{2}-4}{k}$
直线AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-\frac{8}{k}}{\frac{4\sqrt{2}-4}{k}}$=-2-2$\sqrt{2}$．
∴直线BC的斜率为定值；
故答案为：$-2-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是抛物线的性质，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键，属于中档题．