【题目】已知函数f(x)= ,其中a>0,且函数f(x)的最大值是
(1)求实数a的值;
(2)若函数g(x)=lnf(x)﹣b有两个零点,求实数b的取值范围;
(3)若对任意的x∈(0,2),都有f(x)< 成立,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:由题意得函数f(x)= 的导数为f′(x)= ,
因为a>0,所以当x∈(﹣∞,1)时,f′(x)>0,
y=f(x)在(﹣∞,1)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,
y=f(x)在(1,+∞)单调递减;
则 ,则a=1
(2)解:由题意知函数g(x)=lnf(x)﹣b=lnx﹣x﹣b,(x>0)
所以g′(x)= ﹣1= ,
易得函数g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以g(x)max=g(1)=﹣1﹣b,
则依题意知﹣1﹣b>0,
则b<﹣1,所以实数b的取值范围是(﹣∞,﹣1)
(3)解:由题知f(x)= < 对任意x∈(0,2)都成立,
所以k+2x﹣x2>0,即k>x2﹣2x对任意x∈(0,2)都成立,从而k≥0.
又不等式整理可得k< +x2﹣2x,令g(x)= +x2﹣2x,
所以g′(x)= +2(x﹣1)=(x﹣1)( +2),得x=1,
当x∈(1,2)时,g′(x)>0,函数g(x)在(1,2)上单调递增,
同理,函数g(x)在(0,1)上单调递减,g(x)min=g(1)=e﹣1,
依题意得k<g(x)min=g(1)=e﹣1,
综上所述,实数k的取值范围是[0,e﹣1)
【解析】(1)求出f(x)的导数,由题意a>0,讨论f(x)的单调区间,可得f(1)我最大值,解方程可得a的值;(2)求出g(x)的解析式,求得g(x)的导数,单调区间,可得g(x)的最大值,令最大值大于0,解不等式即可得到b的范围;(3)由题意可得f(x)= < 对任意x∈(0,2)都成立,所以k+2x﹣x2>0,即k>x2﹣2x对任意x∈(0,2)都成立,从而k≥0,可得k< +x2﹣2x,令g(x)= +x2﹣2x,求出单调区间,可得最小值,进而得到k的范围.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.
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【题目】某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为:P=P0e﹣kt , (k,P0均为正的常数).若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么,至少还需( )时间过滤才可以排放.
A. 小时
B. 小时
C.5小时
D.10小时
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【题目】如图,已知四棱锥,底面为菱形,,, 平面, 分别是的中点。
(1)证明: ;
(2)若为的中点时,与平面所成的角最大,且所成角的正切值为,求点A到平面的距离。
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求证:PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离.
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【题目】已知的外接圆半径,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且.
(I)求角B和边长b;
(II)求面积的最大值及取得最大值时的a、c的值,并判断此时三角形的形状.
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【题目】若函数f(x)是偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,又f(2)=0,则xf(x)>0的解集是( )
A.(﹣2,2)
B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2)
C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
D.(﹣2,0]∪(2,+∞)
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【题目】某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设H:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算的K2≈3.918,经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列表述中正确的是( )
A.有95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
B.若有人未使用该血清,那么他一年中有95℅的可能性得感冒
C.这种血清预防感冒的有效率为95℅
D.这种血清预防感冒的有效率为5℅
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD垂直于底面ABCD,AD=PD,E分别为AP的中点.
(Ⅰ)求证:DE垂直于平面PAB;
(Ⅱ)设BC =,AB=2,求直线EB与平面ABD所成的角的大小.
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【题目】某公司今年一月份推出新产品A,其成本价为492元/件,经试销调查,销售量与销售价的关系如下表:
销售价(x/元件) | 650 | 662 | 720 | 800 |
销售量(y件) | 350 | 333 | 281 | 200 |
由此可知,销售量y(件)与销售价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(通常取表中相距较远的两组数据所得一次函数较为精确).
(1)写出以x为自变量的函数y的解析式及定义域;
(2)试问:销售价定为多少时,一月份销售利润最大?并求最大销售利润和此时的销售量.
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