Question

【题目】设函数f（x）=x2ex﹣1﹣ x3﹣x2（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：n∈N* ， ex﹣1＞ （其中n!=1×2×…×n）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=2xex﹣1+x2ex﹣1﹣x2﹣2x=x（x+2）（ex﹣1﹣1），

令f′（x）=0，可得x1=﹣2，x2=0，x3=1．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	﹣	0	+	0	﹣	0	+
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数y=f（x）的增区间为（﹣2，0）和（1，+∞），减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，1）

（2）证明：设gn（x）=ex﹣1﹣ ，

当n=1时，只需证明g1（x）=ex﹣1﹣x＞0，当x∈（1，+∞）时，g1′（x）=ex﹣1﹣1＞0，

所以g1（x）=ex﹣1﹣x在（1，+∞）上是增函数，

所以g1（x）＞g1（1）=e0﹣1=0，即ex﹣1＞x；

当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即gk（x）=ex﹣1﹣ ＞0，

当n=k+1时，

因为g′k+1（x）=ex﹣1﹣ =ex﹣1﹣ ＞0，

所以gk+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．

所以gk+1（x）＞gk+1（1）=e0﹣ ＞0，

即当n=k+1时，不等式成立．

由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，n∈N*，ex﹣1＞

【解析】（1）利用导数求函数的单调区间，关键点有二，一是求对导函数，二是解不等式f′（x）＞0，得到x的范围，再兼顾函数的定义域，列出当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况表，将能很轻松的解答问题；（2）本问根据要证明的不等式：n∈N* ， ex﹣1＞ ．构造出函数设gn（x）=ex﹣1﹣ ，在利用数学归纳法证明出当n∈N*时有假设n=k时不等式成立，即gk（x）=ex﹣1﹣ ＞0，这还要借助于导数来解答．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和数学归纳法的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．