Question

在半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD，CE垂直下底AD于E，设DE=x（0＜x＜1），CE=h，梯形ABCD的周长为L．
（1）求h关于x的函数解析式，并指出定义域；
（2）试写出L与关于x的函数解析式，并求周长L的最大值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据图形，便有h=

1-(1-x)2

=

-x2+2x

，并且定义域为（0，1）；
（2）容易求出|CD|=

2x

，|BC|=2-2x，所以周长L=-2x+2

2x

+4，对该函数解析式配方即可求出周长L的最大值．

解答： 解：（1）h²=1-（1-x）²=-x²+2x；
∴h=

-x2+2x

，定义域为（0，1）；
（2）如图，|CD|=

h2+x2

=

2x

；
|BC|=2-2x；
∴L=2

2x

+2-2x+2=2

2x

-2x+4=-2(

x

-

2

2

)2+5，x∈（0，1）；
即L=-2(

x

-

2

2

)2+5，x∈（0，1）；
∴

x

=

2

2

，即x=

1

2

时，L取最大值5．

点评：考查根据实际问题求函数解析式的方法，直角三角形边的关系，梯形周长的概念，以及配方求函数最大值的方法．