Question

已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．

Answer 1

分析：联立方程，设出交点，利用韦达定理，表示出P、Q的坐标关系，由于OP⊥OQ，所以k_OP•k_OQ=-1，问题可解．

解答：解：将x=3-2y代入方程x²+y²+x-6y+m=0，得5y²-20y+12+m=0．
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则y₁、y₂满足条件
y₁+y₂=4，y₁y₂=

12+m

5

．
∵OP⊥OQ，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
而x₁=3-2y₁，x₂=3-2y₂，
∴x₁x₂=9-6（y₁+y₂）+4y₁y₂．
∴m=3，此时△＞0，圆心坐标为（-

1

2

，3），半径r=

5

2

．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，解题方法是设而不求，简化运算，是常考点．