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    【题目】如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．

    （1）证明：∠CBD=∠DBA；
    （2）若AD=3DC，BC= ，求⊙O的直径．

    【答案】
    （1）证明：∵DE是⊙O的直径，

    则∠BED+∠EDB=90°，

    ∵BC⊥DE，

    ∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，

    ∵AB切⊙O于点B，

    ∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；


    （2）证明：由（1）知BD平分∠CBA，

    则 =3，

    ∵BC= ，

    ∴AB=3 ，AC= =4，

    则AD=3，

    由切割线定理得AB2=ADAE，

    即AE= ，

    故DE=AE﹣AD=3，

    即可⊙O的直径为3．


    【解析】（1）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（2）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．

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