Question

【题目】已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn ， 若S9=99，且a4 ， a7 ， a12成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若 ，证明： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn ， S9=99， ∴a5=11，
由a4 ， a7 ， a12成等比数列，得 ，
即（11+2d）2=（11﹣d）（11+7d），∵d≠0，∴d=2，
∴a1=11﹣4×2=3，
故an=2n+1
证明：（Ⅱ） =n（n+2）， = = ，
∴
= [（1﹣ ）+（ ）+（ ）+…+（ ）+（ ）]
= [1+ ]= ，
故 ．
【解析】（Ⅰ）由S9=99，求出a5=11，由a4 ， a7 ， a12成等比数列，求出d=2，由此能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）求出 =n（n+2），从而 = = ，由此利用裂项求和法能证明 ．
【考点精析】关于本题考查的等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和，需要了解通项公式：或；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能得出正确答案．