Question

已知定点A（-3，0），B（3，0），动点P在抛物线y²=2x上的移动，则

PA

•

PB

的最小值等于

 

．

Answer 1

分析：根据题意，设点P的坐标为（

1

2

t2，t），从而得到向量

PA

、

PB

关于t的坐标形式，算出

PA

•

PB

=

1

4

t4+t2-9．再根据平方非负的性质加以计算，可得当点P与原点重合时

PA

•

PB

的最小值为-9．

解答：解：由点P在抛物线y²=2x上的移动，设点P的坐标为（

1

2

t2，t），
∵A（-3，0）、B（3，0），∴

PA

=（-3-

1

2

t2，-t），

PB

=（3-

1

2

t2，-t），
根据向量数量积的公式，
可得

PA

•

PB

=（-3-

1

2

t2）（3-

1

2

t2）+t²=

1

4

t4+t2-9，
∵

1

4

t4≥0且t²≥0，当且仅当t=0时即P坐标为（0，0）时，等号成立．
∴

PA

•

PB

=

1

4

t4+t2-9≥-9，当点P与原点重合时

PA

•

PB

的最小值为-9．
故答案为：-9

点评：本题给出定点A、B的坐标与抛物线上的动点P，求

PA

•

PB

的最小值，着重考查了向量数量积的坐标公式、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．