Question

若点O和点F分别为椭圆

x2

3

+

y2

4

=1的中心和上焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

OP

•

FP

的最大值为（　　）

• A、2
• B、3
• C、6
• D、8

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用椭圆的参数方程与数量积运算性质、正弦函数的单调性、二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：由椭圆

x2

3

+

y2

4

=1可得a=2，b²=3，c=

a2-b2

=1．
∵点O和点F分别为椭圆

x2

3

+

y2

4

=1的中心和上焦点，
∴O（0，0），F（0，1）．
设P(

3

cosθ，2sinθ)，θ∈[0，2π）．
则

OP

•

FP

=(

3

cosθ，2sinθ)•(

3

cosθ，2sinθ-1)
=3cos²θ+4sin²θ-2sinθ
=（sinθ-1）²+2≤6．
当且仅当sinθ=-1时取等号．
∴

OP

•

FP

的最大值为6．
故选：C．

点评：本题考查了椭圆的参数方程与数量积运算性质、正弦函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．