Question

已知圆F₁：（x+1）²+y²=16，定点F₂（1，0），动圆过点F₂，且与圆F₁相内切．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且△ABF₁的面积为，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出M的半径，依据题意列出关系MF₁+MF₂=4，可求轨迹C的方程．
（2）根据椭圆性质以及△ABF₁的面积为，可以求得A、B的坐标，再求直线l的方程．
解答：解：（1）设圆M的半径为r．
因为圆过点F₂，且与圆F₁相内切．
所以MF₂=r，
所以MF₁=4-MF₂，即：MF₁+MF₂=4，
所以点M的轨迹C是以F₁，F₂为焦点的椭圆且设椭圆方程为，
其中2a=4，c=1，所以，
所以曲线C的方程．

（2）因为直线l过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，，
因为，所以．
不妨设点A（x₁，y₁）在x轴上方，则．
所以，，即：点A的坐标为或．
所以直线l的斜率为，故所求直线方和程为x±2y=0．
点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查转化思想，椭圆的定义，是中档题．