Question

已知向量

a

=（cosx，2cosx），向量

b

=（2cosx，sin（π-x）），若f（x）=

a

•

b

+1．
（I）求函数f（x）的解析式和最小正周期；
（II）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）先根据向量的数量积运算表示出函数f（x）的解析式，然后根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再由T=

2π

w

可确定最小正周期．
（II）先根据x的范围求出2x+

π

4

的范围，再由正弦函数的性质可求其最值，进而可得到答案．

解答：解：（I）∵

a

=(cosx，2cosx)，

b

=(2cosx，sin(π-x))
∴f（x）=

a

•

b

+1=2cos²x+2cosxsin（π-x）+1
=1+cos2x+2sinxcosx+1
=cos2x+sin2x+2
=

2

sin(2x+

π

4

)+2．
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（II）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]．
∴当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，f（x）有最大值2+

2

；
当2x+

π

4

=

5π

4

，即x=

π

2

时，f（x）有最小值1．

点评：本题主要考查向量的数量积运算、两角和与差的正弦公式的应用和正弦函数的最值．三角函数与向量的综合题是高考的热点问题，一定要重视．