Question

10．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC．平面ADE∩平面ABC=l．
（1）求证：DE∥l；
（2）求证：DE⊥平面PAC；
（3）若二面角A-DE-P为直二面角，求PE：PC的值．

Answer 1

分析 （1）假设DE与l不平行，由公理二得DE、l、BC交于同一点，这与已知DE∥BC相矛盾，由此能证明DE∥l．
（2）要证明DE⊥平面PAC，先证明BC⊥平面PAC，只需证明BC垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．
（3）由已知得∠AEP=90°，∠PAC=90°，△PAC∽△PEA，设PA=AB=2，由已知条件能求出BC=1，AC=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{7}$，PE=$\frac{P{A}^{2}}{PC}$，由此能求出PE：PC的值．

解答 （1）证明：∵平面ADE∩平面ABC=l，∴l与DE共面于平面ADE，
假设DE与l不平行，则DE与l相交，
∵DE∥BC，∴l与BC相交，
∴由公理二得DE、l、BC交于同一点，
这与已知DE∥BC相矛盾，故假设错误，
∴DE∥l．
（2）证明：∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC，
又∠PCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，
∵DE∥BC，∴DE⊥平面PAC．
（3）∵DE⊥平面PAC，
又AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，
∵二面角A-DE-P为直二面角，∴∠AEP=90°，
∵PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，∴∠PAC=90°，
设PA=AB=2，则BC=1，AC=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{4+3}$=$\sqrt{7}$，
∵∠APC=∠EPA，∠PAC=∠PEA，∴△PAC∽△PEA，
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{PA}{PE}$，∴PE=$\frac{P{A}^{2}}{PC}$=$\frac{4}{\sqrt{7}}=\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
∴PE：PC=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$：$\sqrt{7}$=4：7．

点评 本题考查线线平面的证明，考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．