Question

（理）已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（I）求b．
（II）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．
（III）讨论函数h（x）=ln（1+x²）-

1

2

f（x）-k的零点个数？

Answer 1

分析：（I）根据对任意x∈R，有f（-x）=f（x）建立等式关系，即可求出b的值；
（II）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求导函数，g′(x)=2x+2+

a

x

(x＞0)，则2x+2+

a

x

≥0或2x+2+

a

x

≤0在（0，1）上恒成立，然后将a分离出来，研究不等式另一侧的最值即可求出a的范围；
3）令y=ln(1+x2)-

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x2+1，研究该函数的单调性和极值，结合图形可判断函数h(x)=ln(1+x2)-

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2

f(x)-k的零点个数．

解答：解：（I）∵f（-x）=f（x）
∴（-x）²+bsin（-x）-2=x²+bsinx-2
∴b=0． 
（II）∵g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx
∴g′(x)=2x+2+

a

x

(x＞0)
依题意，2x+2+

a

x

≥0或2x+2+

a

x

≤0在（0，1）上恒成立
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由a≥-2x2-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由a≤-2x2-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（0，1）上恒成立，可知a≤-4，
所以a≥0或a≤-4
（III）h(x)=ln(1+x2)-

1

2

x2+1-k，
令y=ln(1+x2)-

1

2

x2+1．
所以y′=

2x

1+x2

-x=-

(x+1)x(x-1)

x2+1

令y'=0，则x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y′	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	单调递增	极大值 ln2+ 1 2	单调递减	极小值1	单调递增	极大值 ln2+ 1 2	单调递减

所以当k＞ln2+

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时，函数无零点；
当k＜1或k=ln2+

1

2

时，函数有两个零点；
当k=1时，函数有三个零点．
当1＜k＜ln2+

1

2

时，函数有四个零点．

点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查函数恒成立问题，考查函数的零点以及利用导数研究函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．