Question

以下正确命题的个数为（　　）
①命题“存在x₀∈R，2^x0≤0”的否定是：“不存在x₀∈R，2^x0＞0”；
②函数f（x）=x

1

3

-（

1

4

）^x的零点在区间（

1

4

，

1

3

）内；
③若函数f（x）满足f（1）=1且f（x+1）=2f（x），则f（1）+f（2）+…+f（10）=1023；
④函数f（x）=e^-x-e^x切线斜率的最大值是2．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①命题“存在x₀∈R”的否定是：“?x₀∈R”，“2^x0≤0”的否定是“2^x0＞0”，由此能求出结果；
②由f（x）=x

1

3

-（

1

4

）^x，知f（

1

4

）•f（

1

3

）＜0，故函数f（x）=x

1

3

-（

1

4

）^x的零点在区间（

1

4

，

1

3

）内；
③由f（x）满足f（1）=1且f（x+1）=2f（x），知f（1）+f（2）+…+f（10）=1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁹，由等比数列前10项和公式能求出结果．
④先求出曲线对应函数的导数，由基本不等式求出导数的最大值，即得到曲线斜率的最大值．

解答：解：①命题“存在x₀∈R，2^x0≤0”的否定是：“?x₀∈R，2^x0＞0”，故①不正确；
②∵f（x）=x

1

3

-（

1

4

）^x，
∴f（

1

4

）=(

1

4

)

1

3

-（

1

4

） 

1

4

＜0，
f（

1

3

）=（

1

3

） 

1

3

-（

1

4

） 

1

3

＞0，
∴函数f（x）=x

1

3

-（

1

4

）^x的零点在区间（

1

4

，

1

3

）内，故②正确；
③∵f（x）满足f（1）=1且f（x+1）=2f（x），
∴f（2）=2f（1）=2，
f（3）=2f（2）=2²，
f（4）=2f（3）=2³，
f（5）=2f（4）=2⁴，
…
f（10）=2f（9）=2⁹，
∴f（1）+f（2）+…+f（10）
=1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁹
=

1×(1-210)

1-2

=1023，故③正确；
④∵f（x）=e^-x-e^x，∴f'（x）=-e^x-

1

ex

，
∴函数f（x）=e^-x-e^x切线斜率k=f'（x）=-e^x-

1

ex

=-（e^x+

1

ex

）≤-2

ex• 1 ex

=-2，
当且仅当e^x=

1

ex

 时，等号成立．
∴函数f'（x）=-e^x-

1

ex

，的切线斜率的最大值为-2．故④不正确．
故选B．

点评：本题考查命题的否定、函数的零点、等比数列、曲线的切线斜率与对应的函数的导数的关系，以及基本不等式的应用，体现了转化的数学思想．属于中档题．