Question

如图，已知四边形与均为正方形，平面平面.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小.

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）要证直线与平面垂直，只须证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直或证明这条直线是两垂直平面中一个平面内的一条直线，且这条直线垂直于这两个平面的交线即可.本题属于后者，由平面平面且交线为，而且平面，所以问题得证；（2）解决空间角最有效的工具是向量法，先以点为坐标原点，利用已有的垂直关系建立空间直角坐标系，为计算的方便，不妨设正方形的边长为1，然后标出有效点与有效向量的坐标，易知平面的法向量为，再利用待定系数法求出另一平面的法向量，接着计算出这两个法向量夹角的余弦值，根据二面角的图形与计算出的余弦值，确定二面角的大小即可.
试题解析：(1)因为平面平面，且平面平面
又因为四边形为正方形，所以
因为平面，所以平面       4分
(2)以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系

则
所以平面的法向量为   5分
设平面的法向量为
因为
由得即
令，则       6分
因为
所以二面角的大小为       8分.