Question

坐标系与参数方程，在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为(3，

π

3

)，半径为3，点Q在圆周上运动，
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直角坐标系的原点与极点O重合，x轴非负半轴与极轴重合，M为OQ中点，求点M的参数方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设圆上任一点坐标为（ρ，θ），由余弦定理得出关于ρ，θ的关系式，即为所求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）由（I）根据中点坐标公式得出点M的极坐标方程为ρ=3cos(θ-

π

3

)，再化为直角坐标方程得点M为一个圆心在(

3

4

，

3 3

4

)，半径为r=

3

2

的圆，最后写出其参数方程即可．

解答：解：（I）连OC并延长交圆于A，圆过极点O，OA为⊙C直径
设P（ρ，θ）为⊙C上任一点Rt△OPA中，ρ=6cos(θ-

π

3

)
（II）点M的极坐标方程为ρ=3cos(θ-

π

3

)
化为直角坐标方程得：(x-

3

4

)2+(y-

3 3

4

)2=

9

4

，
点M为一个圆心在(

3

4

，

3 3

4

)，半径为r=

3

2

的圆，
其参数方程

x= 3 4 + 3 2 cosθ y= 3 3 4 + 3 2 sinθ

（θ为参数）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．属于基础题．