Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，为A₁A上一点，且三棱锥D-ABC的体积为三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积的．
（1）证明：平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）在直线C₁B上是否存在一点E，使A₁E平行于平面BCD，若存在，求C₁E与EB的比值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵三棱锥D-ABC的体积为三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积的，
∴AD=AA₁，即D为AA₁的中点
∴AC=AD=A₁D=A₁C₁
∴∠CDA=∠C₁DA₁=45°
∴C₁D⊥CD
∵BC⊥平面A₁ACC₁，
∴C₁D⊥BC
∵CD∩BC=C
∴C₁D⊥平面BCD
∵C₁D?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）解：存在C₁B的中点E，使A₁E平行于平面BCD，证明如下：
取B₁B的中点F，连接A₁F，EF，A₁E

则A₁F∥BD
∵EF∥B₁C₁∥BC，∴平面A₁EF∥平面BDC，
∵A₁E?平面A₁EF
∴A₁E∥平面BCD
此时，C₁E与EB的比值为1．
分析：（1）先证明BC⊥平面A₁ACC₁，再证明C₁D⊥平面BCD，即可证明平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）存在C₁B的中点E，使A₁E平行于平面BCD，取B₁B的中点F，连接A₁F，EF，A₁E，证明平面A₁EF∥平面BDC，即可证明A₁E∥平面BCD．
点评：本题考查面面垂直，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．