Question

【题目】设f（x）=loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．
（1）求a的值及f（x）的定义域．
（2）求f（x）在区间[0， ]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=loga（1+x）+loga（3﹣x），

∴f（1）=loga2+loga2=loga4=2，∴a=2；

又∵ ，∴x∈（﹣1，3），

∴f（x）的定义域为（﹣1，3）

（2）解：∵f（x）=log2（1+x）+log2（3﹣x）=log2[（1+x）（3﹣x）]=log2[﹣（x﹣1）2+4]，

∴当x∈（﹣1，1]时，f（x）是增函数；

当x∈（1，3）时，f（x）是减函数，

∴f（x）在[0， ]上的最大值是f（1）=log24=2；

又∵f（0）=log23，f（ ）=log2 =﹣2+log215，

∴f（0）＜f（ ）；

∴f（x）在[0， ]上的最小值是f（0）=log23；

∴f（x）在区间[0， ]上的值域是[log23，2]

【解析】（1）由f（1）=2求得a的值，由对数的真数大于0求得f（x）的定义域；（2）判定f（x）在（﹣1，3）上的增减性，求出f（x）在[0， ]上的最值，即得值域．
【考点精析】本题主要考查了函数的定义域及其求法和函数的值域的相关知识点，需要掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能正确解答此题．