Question

已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f(x)≤|f(

π

6

)|对x∈R恒成立，且f(

π

2

)＞f(π)，则f（x）的单调递增区间是

[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)

．

Answer 1

分析：由若f(x)≤|f(

π

6

)||对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（

π

6

）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合f（

π

2

）＞f（π），易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．

解答：解：若f(x)≤|f(

π

6

)|对x∈R恒成立，
则f（

π

6

）等于函数的最大值或最小值，
即2×

π

6

+φ=kπ+

π

2

，k∈Z，
则φ=kπ+

π

6

，k∈Z，
又f（

π

2

）＞f（π），即sinφ＜0，
令k=-1，此时φ=-

5π

6

，满足条件sinφ＜0，
令2x-

5π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，
解得x∈[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)．
则f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)．
故答案为：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)．

点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的单调性，其中解答本题的关键是根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值．属于基础题．