Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（t）=|t+1|-|t-3|
（I）求f（t）＞2的解集；
（II）若a＞0，g（x）=ax²-2x+5，若对任意实数x、t，均有g（x）≥f（t）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）把原不等式等价转化为 ①

t＜-1 (-t-1)-(3-t)＞2

，或②

-1≤t＜3 (t+1)-(3-t)＞2

，或③

t≥3 (t+1)-(t-3)＞2

，分别求出①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（II）由题意可得g_min（x）≥f_max（t）．利用二次函数的性质求得g_min（x）=

5a-1

a

，由绝对值的意义可得f（t）的最大值等于4，由

5a-1

a

≥4求出a的取值范围．

解答：解：（I）由函数f（t）=|t+1|-|t-3|＞2可得
①

t＜-1 (-t-1)-(3-t)＞2

，或②

-1≤t＜3 (t+1)-(3-t)＞2

，或③

t≥3 (t+1)-(t-3)＞2

．
解①得t∈∅，解②得 2＜t＜3，解③得 t≥3．
综上可得，不等式的解集为{t|t＞2}．
（II）∵a＞0，g（x）=ax²-2x+5，若对任意实数x、t，均有g（x）≥f（t）恒成立，
故有g_min（x）≥f_max（t）．
由题意可得，当x=

1

a

时，g（x）取得最小值为g_min（x）=

5a-1

a

．
而由绝对值的意义可得f（t）的最大值等于4，
∴

5a-1

a

≥4，解得 a≥1，
故a的取值范围为[1，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．