Question

已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（a＞0，且a≠1）
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）若函数 f（x）有最小值为-2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由

1-x＞0 x+3＞0

，得函数的定义域{x|-3＜x＜1}，再由f（x）=log_a（1-x）（x+3），能求出函数f（x）的定义域和值域．
（2）由题设知：当0＜a＜1时，函数有最小值，由此能求a的值．

解答：解：（1）由

1-x＞0 x+3＞0

，得-3＜x＜1，
∴函数的定义域{x|-3＜x＜1}，
f（x）=log_a（1-x）（x+3），
设t=（1-x）（x+3）=4-（x+1）²，
∴t≤4，又t＞0，
则0＜t≤4．
当a＞1时，y≤log_a4，值域为{y|y≤log_a4}．
当0＜a＜1时，y≥log_a4，值域为{y|y≥log_a4}．
（2）由题设及（1）知：
当0＜a＜1时，函数有最小值，
∴log_a4=-2，
解得a=

1

2

．

点评：本题考查对数函数的定义域、值域的求法和当函数值最小时对应的参数a，解题时要认真审题，仔细解答．