Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]，
（1）当a=-1时，求函数的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调减函数．

Answer 1

解：（1）当a=-1时，函数表达式是f（x）=x²-2x+2，
∴函数图象的对称轴为x=1，
在区间（-5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数．
∴函数的最小值为[f（x）]_min=f（1）=1，
函数的最大值为f（5）和f（-5）中较大的值，比较得[f（x）]_max=f（-5）=37
综上所述，得[f（x）]_max=37，[f（x）] _min=1（6分）
（2）∵二次函数f（x）图象关于直线x=-a对称，开口向上
∴函数y=f（x）的单调增区间是（-∞，a]，单调减区间是[a，+∞），
由此可得当[-5，5]?[a，+∞）时，
即-a≥5时，f（x）在[-5，5]上单调减，解之得a≤-5．
即当a≤-5时y=f（x）在区间[-5，5]上是单调减函数．（6分）
分析：（1）当a=-1时f（x）=x²-2x+2，可得区间（-5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数．由此可得[f（x）]_max=37，[f（x）] _min=1；
（2）由题意，得函数y=f（x）的单调减区间是[a，+∞），由[-5，5]?[a，+∞）解出a≤-5，即为实数a的取值范围．
点评：本题给出含有参数的二次函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值，着重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识，属于基础题．