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8.已知函数f(x)=sinx.
(1)当x>0时,证明:${f^'}(x)>1-\frac{x^2}{2}$;
(2)若当$x∈(0,\frac{π}{2})$时,$f(x)+\frac{f(x)}{{{f^'}(x)}}>ax$恒成立,求实数a的取值范围.

分析 (1)求出f′(x)=cosx,设$g(x)={f^'}(x)-({1-\frac{x^2}{2}})=cosx-({1-\frac{x^2}{2}})$,则g′(x)=1-cosx>0,由此利用导数性质能证明当x>0时,${f^'}(x)>1-\frac{x^2}{2}$.
(2)原不等式等价于sinx+tanx>ax,设h(x)=sinx+tanx-ax,则${h^'}(x)=cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-a$,$0<x<\frac{π}{2}$,令 t=cosx,由 $0<x<\frac{π}{2}$,得0<t<1,设$t+\frac{1}{t^2}=k(t)$,则${k^'}(t)=1-\frac{2}{t^2}=\frac{{{t^3}-2}}{t^3}<0$,由此利用分类讨论思想和导数性质能求出实数a的取值范围.

解答 解:(1)证明:∵函数f(x)=sinx,x>0,∴f′(x)=cosx,
设$g(x)={f^'}(x)-({1-\frac{x^2}{2}})=cosx-({1-\frac{x^2}{2}})$,
则g′(x)=-sinx+x,g''(x)=1-cosx>0,∴g′(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴g′(x)>g′(0)=0,
∴当x>0时,${f^'}(x)>1-\frac{x^2}{2}$.
(2)当$x∈(0,\frac{π}{2})$时,$f(x)+\frac{f(x)}{{{f^'}(x)}}>ax$恒成立,
等价于sinx+tanx>ax,
设h(x)=sinx+tanx-ax,则${h^'}(x)=cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-a$,$0<x<\frac{π}{2}$,
令 t=cosx,由 $0<x<\frac{π}{2}$,得0<t<1,
设$t+\frac{1}{t^2}=k(t)$${k^'}(t)=1-\frac{2}{t^2}=\frac{{{t^3}-2}}{t^3}<0$,
∴k(t)在(0,1)上是减函数,∴k(t)>k(1)=2,
当a≤2时,h′(x)≥0,∴h(x)在$({0,\frac{π}{2}})$上是增函数,∴h(x)>h(0)=0成立,
当a>2时$t+\frac{1}{t^2}=a$在(0,1)仅有一根,设根为t0,设cosx=t0,$0<x<\frac{π}{2}$,
存在唯一m有cosm=t0
当x∈(0,m)时,${t_0}<cosx<1⇒{h^'}(x)<0$,
∴h(x)在(0,m)上单调递减,∴h(x)<h(0)=0,
这与条件矛盾,所以a>2时不成立
综上得到实数a的取值范围是{a|a≤2}.

点评 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查导数的几何意义,考查恒成立问题,正确求导是解题的关键.

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