Question

（2013•保定一模）四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为矩形，M为AB中点，且△SAB为等腰直角三角形，SA=SB=2，SC⊥BD，DA⊥平面SAB．
（1）求证：平面SBD⊥平面SMC
（2）设四棱锥S-ABCD外接球的球心为H，求棱锥H-MSC的高．

Answer 1

分析：（1）要证明面面垂直，常用其判定定理来证明，即在其中一个平面内找到一条直线与另一平面垂直；
（2）空间中求距离，可用空间向量来解决，也可用等体积法来做．

解答：解：（1）∵SA=SB，M为AB中点，∴SM⊥AB
又∵DA⊥平面SAB，∴DA⊥SM，∴SM⊥平面ABCD
又∵DB?平面ABCD，∴SM⊥DB
又SC⊥BD，∴DB⊥平面SMC，∴平面SBD⊥平面SMC．
（2）由（1）知DB⊥平面SMC，∴DB⊥MC
∴△ABD∽△BCM，故

AB

BC

=

DA

MB

⇒

2 2

BC

=

BC

2

⇒BC=2
设AC∩BD=N，∵AS⊥BS，DA⊥BS，∴SB⊥平面SAD
∴SB⊥SD，显然NA=NB=NC=ND=NS，所以H与N重合，即为球心．
法一：连接MH，∵SM⊥平面ABCD
∴S_△HMC=S_△ABC-S_△AMH-S_△MBC=

1

2

(2×2

2

-

2

-2

2

)=

2

2

，
且S△MSC=

1

2

MC×SM=

1

2

2+4

×

2

=

3

，
设棱锥H-MSC的高是h，则S_△HMC×SM=S_△MSC×h，
∴h=

S△HMC×SM

S△MSC

=

1

3

=

3

3

．
法二：以点M为原点，分别以MS，MB，MH为X，Y，Z轴建立空间直角坐标系，
则M（0，0，0），B（0，

2

，0），C（0，

2

，2），H（0，0，1）
所以

CH

=(0，-

2

，-1)，

BH

=(0，-

2

，1)，|

BH

|=

3

，
设棱锥H-MSC的高为h，则

CH

•

BH

=|

CH

|•|

BH

|cos＜

CH

，

BH

＞=h×|

BH

|
∴h=

CH • BH

| BH |

=

2-1

3

=

3

3

．

点评：本题考查立体几何，主要考查面面垂直，与求空间距离的问题，属于中档题．要求考生要熟练掌握此类考题．