Question

2．在△ABC中，已知B=2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为4：3的两部分，则cosA=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由A与B的度数之比，得出AC大于BC，利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为4：3，得到BC与AC之比，再利用正弦定理得出sinA与sinB之比，将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cosA的值．

解答 解：∵B=2A，
∴B＞A，
∴AC＞BC，
∵角平分线CD把三角形面积分成4：3两部分，
∴由角平分线定理得：BC：AC=BD：AD=3：4，
∴由正弦定理$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，得：$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{3}{4}$，整理得：$\frac{sinA}{sin2A}$=$\frac{sinA}{2sinAcosA}$=$\frac{3}{4}$，
则cosA=$\frac{2}{3}$．
故选：A．

点评 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，角平分线定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．