Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．
（Ⅰ）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l的方程为y=k（x-4），
由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），…（1分）
因为点F到直线l的距离为，
所以，…（3分）
解得，所以直线l的斜率为．…（5分）
（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为AB不垂直于x轴，
则直线MN的斜率为，
直线AB的斜率为，…（7分）
直线AB的方程为，…（8分）
联立方程
消去x得，…（10分）
所以，…（11分）
因为N为AB中点，
所以，即，…（13分）
所以x₀=2．即线段AB中点的横坐标为定值2．…（14分）
分析：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x-4），由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），因为点F到直线l的距离为，所以，由此能求出直线l的斜率．
（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为AB不垂直于x轴，所以直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为，由此能够证明线段AB中点的横坐标为定值．
点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．本题的易错点是计算量大，容易出错．