设平面向量=(,-),=(,),若存在不同时为0的两个实数s、t及实数k>0,使=+(t2-k),=-s+t,且⊥.
(1)求函数关系式s=f(t);
(2)若函数s=f(t)在[1,+∞)是单调函数,求证:0<k≤3.
附加题:
(3)设x0≥1,f(x0)≥1,且满足f[f(x0)]=x0,求证f(x0)=x0.
(1)∵=(,-),=(,). ∴||=||=1,且·=0. 又⊥,∴·=0,即[+(t2-k)]·[s+t]=0 即-s||2+(t2-k)t||2+(t-st2+sk)·=-s+(t2-k)t=0,即s=t3-kt (2)∵f′(t)=3t2-k f(t)是单调函数 ∴若f(t)是增函数,则f′(t)≥0,恒有3t2≥k,而t∈[1,+∞],∴0<k≤3 若f(t)是减函数,则f′(t)≤0,恒有3t2≤k 而t∈[1,+∞],这样的k不存在,故0<k≤3 (3)设f(x0)=m,由f[f(x0)]=x0,得f(m)=x0 于是两式相减,有(x03-m3)-k(x0-m)=m-x0 ∴(x0-m)(x02+x0m+m2)(x0-m)(1-k)=0 ∴(x0-m)(x02+m2+x0m+1-k)=0 ∵x0≥1,m=f(x0)≥1∴x02+m2+x0m+1-k≥4-k 而0<k≤3∴x02+m2+x0m+1-k>0,x0=m故f(x0)=x0 |
科目:高中数学 来源:2011届江苏省苏、锡、常、镇四市高三调研测试数学卷(一) 题型:填空题
设平面向量=,,,,
⑴若,求的值;
⑵若,证明和不可能平行;
⑶若,求函数的最大值,并求出相应的值.
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科目:高中数学 来源:2014届河北冀州中学高一下学期期中理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分12分)
设平面向量= ( m , -1), = ( 2 , n ),其中 m, n {-2,-1,1,2}.
(1)记“使得//成立的( m,n )”为事件A,求事件A发生的概率;
(2)记“使得⊥(-2)成立的( m,n )”为事件B,求事件B发生的概率.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省济南市高三下学期二月月考文科数学试卷 题型:解答题
(本小题满分12分)设平面向量= ( m , 1), = ( 2 , n ),其中 m, n {-2,-1,1,2}.
(I)记“使得⊥成立的( m,n )”为事件A,求事件A发生的概率;
(II)记“使得//(-2)成立的( m,n )”为事件B,求事件B发生的概率.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年江苏省苏、锡、常、镇四市高三调研测试数学卷(一) 题型:填空题
设平面向量=,,,,
⑴若,求的值;
⑵若,证明和不可能平行;
⑶若,求函数的最大值,并求出相应的值.
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