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设平面向量=(,-),=(),若存在不同时为0的两个实数s、t及实数k>0,使+(t2-k)=-s+t,且

(1)求函数关系式s=f(t);

(2)若函数s=f(t)在[1,+∞)是单调函数,求证:0<k≤3.

附加题:

(3)设x0≥1,f(x0)≥1,且满足f[f(x0)]=x0,求证f(x0)=x0

答案:
解析:

  (1)∵=(,-),=().

  ∴||=||=1,且·=0.

  又,∴·=0,即[+(t2-k)]·[s+t]=0

  即-s||2+(t2-k)t||2+(t-st2+sk)·=-s+(t2-k)t=0,即s=t3-kt

  (2)∵f′(t)=3t2-k f(t)是单调函数

  ∴若f(t)是增函数,则f′(t)≥0,恒有3t2≥k,而t∈[1,+∞],∴0<k≤3

  若f(t)是减函数,则f′(t)≤0,恒有3t2≤k

  而t∈[1,+∞],这样的k不存在,故0<k≤3

  (3)设f(x0)=m,由f[f(x0)]=x0,得f(m)=x0

  于是两式相减,有(x03-m3)-k(x0-m)=m-x0

  ∴(x0-m)(x02+x0m+m2)(x0-m)(1-k)=0

  ∴(x0-m)(x02+m2+x0m+1-k)=0

  ∵x0≥1,m=f(x0)≥1∴x02+m2+x0m+1-k≥4-k

  而0<k≤3∴x02+m2+x0m+1-k>0,x0=m故f(x0)=x0


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