【题目】三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=,AC=2,A1C1=1,.
(1)证明:BCA1D;
(2)求二面角A-CC1-B的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2) .
【解析】试题分析: ()由线面垂直的性质定理可得,在中,根据长度比例可得,可推出,再由线面垂直的判定定理推出平面,根据定义得出结论成立;(2) 作交于点,连接,由线面垂直得到线线垂直,找到二面角的平面角, 过作交于点,在三角形中求出,再从和中分别求出AE和BE,代入公式即可.
试题解析:(Ⅰ) 平面平面,
.在中,,
,,又,
,,即.
又,平面, 又A1D平面.
A1D.
(Ⅱ)如图,作交于点,连接,
由已知得平面.∴AB┴CC1,又CC1AE=E,
∴CC1┴平面AEB, ∴CC1┴BE,
为二面角的平面角.
过作交于点,
则,,
.
在中,.
在中,AB=, AE=, ∴BE=.
即二面角的余弦值为.
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【题目】在平面直角坐标系 中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程是 ,圆 的极坐标方程是 .
(1)求 与 交点的极坐标;
(2)设 为 的圆心, 为 与 交点连线的中点,已知直线 的参数方程是 ( 为参数),求 的值.
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【题目】已知 为定义在 上的偶函数,当 时,有 ,且当 时, ,给出下列命题:
① 的值为 ;
②函数 在定义域上为周期是2的周期函数;
③直线 与函数 的图像有1个交点;
④函数 的值域为 .
其中正确的命题序号有 .
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【题目】已知直线l的参数方程为 为参数),以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为 .直线l过点 .
(1)若直线l与曲线C交于A,B两点,求 的值;
(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值.
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【题目】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC,F、F1分别是AC,A1C1的中点.
求证:(1)平面AB1F1∥平面C1BF;
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
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【题目】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据绘制茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
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【题目】甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:
甲商场:顾客转动如图所示的圆盘,当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形,且每个扇形的圆心角均为,边界忽略不计)即为中奖.
乙商场:从装有2个白球、2个蓝球和2个红球(这些球除颜色外完全相同)的盒子中一次性摸出2球,若摸到的是2个相同颜色的球,则为中奖.
试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由.
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