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19.已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn,且满足:当n≥2时,an=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$.
(1)证明:数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}为等差数列.
(2)若数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}前n项的和为Tn,求Tn的表达式.

分析 (1)当n≥2时,an=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$,可得Sn-Sn-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$.又数列{an}的各项为正数,可得$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}$=1,即可证明.
(2)由(1)可得:可得Sn.可得an.再利用“裂项求和”即可得出.

解答 (1)证明:∵当n≥2时,an=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$,∴Sn-Sn-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$.
又数列{an}的各项为正数,∴$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$>0.
∴$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}$=1,
∴数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}为等差数列,首项为1,公差为1.
(2)解:由(1)可得:$\sqrt{{S}_{n}}$=1+(n-1)=n,可得Sn=n2
∴当n≥2时,an=$\sqrt{{n}^{2}}+\sqrt{(n-1)^{2}}$=2n-1,
当n=1时也成立,
∴an=2n-1.
∴$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$.
数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}前n项的和Tn=$\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$+…+$(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})]$
=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$
=$\frac{n}{2n+1}$.

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、递推关系的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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