分析 (1)当n≥2时,an=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$,可得Sn-Sn-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$.又数列{an}的各项为正数,可得$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}$=1,即可证明.
(2)由(1)可得:可得Sn.可得an.再利用“裂项求和”即可得出.
解答 (1)证明:∵当n≥2时,an=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$,∴Sn-Sn-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$.
又数列{an}的各项为正数,∴$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$>0.
∴$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}$=1,
∴数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}为等差数列,首项为1,公差为1.
(2)解:由(1)可得:$\sqrt{{S}_{n}}$=1+(n-1)=n,可得Sn=n2.
∴当n≥2时,an=$\sqrt{{n}^{2}}+\sqrt{(n-1)^{2}}$=2n-1,
当n=1时也成立,
∴an=2n-1.
∴$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$.
数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}前n项的和Tn=$\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$+…+$(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})]$
=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$
=$\frac{n}{2n+1}$.
点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、递推关系的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | p<m<n<q | B. | m<p<q<n | C. | p<q<m<n | D. | m<n<p<q |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | -1 | C. | 0 | D. | -9 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-3,-1) | B. | (-3,1)∪(2,+∞) | C. | (-3,0)∪(1,3) | D. | (-1,1)∪(1,3) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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