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某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖,甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张,每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为
1
3
,且三人投票相互没有影响,若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目最终获一等奖;否则,该节目不能获一等奖.
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率;
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望.
考点:离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列
专题:概率与统计
分析:(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A,则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”,由此能求出某节目的投票结果是最终获一等奖的概率.
(2)所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列及数学期望.
解答: 解:(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A,
则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”,
∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为
1
3

且三人投票相互没有影响,
∴某节目的投票结果是最终获一等奖的概率:
P(A)=
C
2
3
(
1
3
)2(
2
3
)+
C
3
3
(
1
3
)3
=
7
27

(2)所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0,1,2,3,
P(X=0)=
C
0
3
(
1
3
)3
=
1
27

P(X=1)=
C
1
3
(
2
3
)(
1
3
)2
=
6
27

P(X=2)=
C
2
3
(
2
3
)2(
1
3
)
=
12
27

P(X=3)=
C
3
3
(
2
3
)3
=
8
27

∴X的分布列为:
 X 0
 P
1
27
 
 
2
9
 
4
9
 
8
27
E(X)=
1
27
+1×
2
9
+2×
4
9
+3×
8
27
=2.
点评:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解题时要认真审题,是中档题.
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2
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5
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